TENTTI 3.5.1999

1. Kirjoitetaan sin(z) = (exp(iz)-exp(-iz))/2i, lavennetaan 
   exp(zi):llä ja ratkaistaan 2. asteen yhtälöstä exp(zi).
   Tulos on exp(zi) = i(cosh(1)±sinh(1)) = i exp(±1).
   Otetaan puolittain (kompleksinen) logaritmi:
   zi = ln exp(±1) + i(pi/2 + 2n pi) => z = pi/2 + 2n pi ± i.
2. On se harmoninen. Toiset derivaatat ovat jatkuvia ja
   u_xx + u_yy = 0.
 a) v(x,y) = 3x²y - y³ + c. 
   (Ratkaistaan yhtälöpari u_x = v_y, u_y = -v_x)
 b) f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+ iv(x,y).
 c) Ratkaistaan s(x,y) yhtälöistä s_x = u_y, s_y = -u_x.
    s(x,y) = y³ - 3x²y (+c).
    f(z) = s(x,y) + iu(x,y).
3. Yksinkertaiset navat ±i. Vast. residyt 1/2i ja -1/2i.
 a) I = 2pi i / 2i = pi
 b) I = 2pi i / (-2i) = -pi
 c) I = edellisten summa = 0.
4. 
 a) 1/(z+1)² = -D (1/z+1) = -D Sum( (-z)^n, n=0..Inf )
    = Sum( (-1)^n (n+1) z^n, n=0..Inf ). Se mitä kysytään
    on tuo jaettuna z:lla = Sum( (-1)^(n+1) (n+2) z^n, n=-1..Inf).
    Ja R = 1.
 b) 1/z = -1/(1-(z+1)) = - Sum( (z+1)^n, n=0..Inf ).
    1/[z(z+1)²] = - Sum( (z+1)^n, n=-2..Inf ), ja R = 1.
5. Lasketaan residyt pisteissä (±1+i)/sqrt(2).
   I = 2pi i (Res(f,z=z1)+Res(f,z=z2)) / 2 = pi/(2sqrt(2)).
   (Huomaa jako kahdella, koska integraali oli 0..Inf eikä -Inf..Inf.)