KMF H1 18.-23.1.1999: 1. a) -182 + 610i, b) 19/74 - 3i/74, c) 61/39 + 11i/13. 2. Vastaesimerkki z = i. (Ja yleisesti |z|² on reaalinen, z² ei.) 3. a) z1z2 = 0 <=> z1 = 0 tai z2 = 0. (Tehtävässä on virhe, pitää olla tai eikä ja.) Suuntaan <= todistus on selvä. Suuntaan => : z1 = a + bi, z2 = c + di. z1z2 = (ac-bd) + i(ad+bc) = 0 + 0i => acd-bd² = 0 ja acd+bc² = 0 => b(c² + d²) = 0 => b = 0 tai z2 = 0. Jos b = 0, niin ac = ad = 0 => a = 0 tai c = d = 0 => z1 = 0 tai z2 = 0. b) z = 0 <=> |z| = 0: Suuntaan => selvä. Takaisin: |z| = 0 => x² + y² = 0 => x = y = 0 => z = 0. 4. Suora y = 2x-3/2 ja sen yläpuoli, ts. pisteet { z | Im{z} >= 2Re{z} - 3/2 }. 5. a) Tee ite, b) suoran y = x - 1 yläpuoli, c) ympyrä x² + (y-5/2)² = (3/2)² ja sen ulkopuoli, d) ellipsi 4x² + 3y² = 108. 6. (=> on implikaatio, <= on pienempi tai yhtäsuuri.) |z1| = |z1 -z2 + z2| <= |z1-z2| + |z2| => |z1|-|z2| <= |z1-z2| ja vastaavasti |z2|-|z1| <= |z1-z2|. 7. z = x + iy != 0 (!= on erisuuruusmerkki) => 1/z = (x-iy)/(x²+y²) on kelvollinen inverssi. Yksikäsitteisyys: Ol. zz1 = 1, zz2 = 1. Nyt z(z1-z2) = 0 => z1 = z2. H2 25.-30.1.1999: 1. a) Avoimia i,iv,v. (Joukko on avoin jos kaikki sen pisteet ovat sisäpisteitä) b) Suljettuja ii,iii,v. (Joukko on suljettu jos se sisältää kaikki kasautumispisteensä tahi jos sen komplementti on avoin. Nämä 2 määritelmää ovat keskenään yhtäpitävät. Koko avaruus ja tyhjä joukko ovat sekä suljet- tuja että avoimia. 'Tavallisissa' avaruuksissa millään muilla joukoilla ei voi olla tätä omi[na|tu]isuutta.) c) Yhtenäisiä i,ii,v. (Joukko on yhtenäinen jos sitä ei voi jakaa kahdeksi keskenään pistevieraaksi ei-tyhjäksi avoimeksi joukoksi.) d) Yhdesti yhtenäisiä i,v. (Yhdesti yhtenäisessä joukossa mielivaltainen suljettu viiva voidaan jatkuvalla kuvauksella muuttaa pisteeksi joutumatta joukon ulkopuolelle. Ts. joukossa ei ole reikiä.) e) Rajoitettuja iii,iv. (Rajoitettu joukko mahtuu äärellisen pallon (ympyrän) sisälle.) d) Kompakteja iii. (R^n:ssä ja C^n:ssä joukko on kompakti jos se on suljettu ja rajoitettu. Yleisemmin joukko on kompakti, jos jokaisella joukon jonolla on suppeneva osajono.) 2. (i) 2^500, (ii) -8+8i, (iii) (3^½ + i)/8 (iv) cos(pi/8 + k·pi/4) + isin(pi/8 + k·pi/4), k=0..7 (v) 2^¼[cos(pi/24 + k×pi/2) + isin(pi/24 + k×pi/2)], k=0..3. 3. HUOM! Meni pieleen harkoissa! Jos r voi olla < 0, niin |z| = |r|. Nyt |z|³ = a Re(z²) <=> |r|³ = ar²cos(2t) <=> |r| = a cos(2t). Kuva Matlabilla: » t=pi*[-1/4:1/100:1/4 3/4:1/100:5/4]; % Kulmat, joilla cos(2t) >= 0 » r=2*cos(2*t); % Säde. Tässä a = 2. » plot(r.*cos(t),r.*sin(t)) % Kuva xy-tasoon Kuvassa on vain 2 vaakasuoraa lehteä. Jos a<0, kuvaajassa on vain pystyt lehdet. 4. (i) cos(5t) = 16cos^5(t) - 20cos³(t) + 5cos(t) ? Merk. z = cos(t) + isin(t). De Moivre: cos(5t) = Re(z^5). Binomin potenssikaavasta: z^5 = cos^5(t) + 5icos^4(t)sin(t) - 10cos³(t)sin²(t) - 10icos²(t)sin³(t) + 5cos(t)sin^4(t) + isin^5(t). Revitään tuosta reaaliosa ja poistetaan sinit (sin²(t) = 1 - cos²(t)). Väite seuraa. (ii) Kuten kohdassa (i), tan(4t) = sin(4t)/cos(4t) = Im(z^4)/Re(z^4) = ... = [4cos³(t)sin(t) - 4cos(t)sin³(t)] / [cos^4(t) - 6cos²(t)sin²(t) + sin^4(t)] = [4tan(t)-4tan³(t)] / [1 - 6tan²(t) + tan^4(t)]. 5. z^6 = 1 <=> r^6(cos(6t) + isin(6t)) = 1 = cos(0) + isin(0) => r = 1, 6t = 2k·pi => z = cos(k·pi/3) + isin(k·pi/3), k = 0..5. 6. z = rcos(t)+irsin(t) => z² = r²cos(2t)+ir²sin(2t). |z+1||z-1| = 1 <=> |z²-1|² = 1 <=> r^4cos²(2t) - 2r²cos(2t) + 1 + r^4sin²(2t) = 1 <=> r² = 2cos(2t). H3 1.-7.2.1999: 1. (i) u=3x+1, v=3y (ii) u=2x²-2y²-x, v=4xy-y (iii) u=x, v=0 a) Funktio f:A->B:f(x)=y on injektio, jos f(x1)=fx2) => x1=x2. Suomeksi: Mitkään kaksi pistettä eivät kuvaudu samaan pisteeseen. (i) on injektio. b) Funktio f:A->B:f(x)=y on surjektio, jos f(A)=B, ts. kaikilla B:n pisteillä on A:ssa alkukuva/kuvia. (i),(ii) ja (iii) ovat surjektioita. Funktio (i) on sekä injektio että surjektio, eli se on bijektio. 2. Jotta f olisi funktio, juuri on voitava valita yksikäsitteisesti. Valitaan argumentti z päähaarasta (-pi < Arg(z) <= pi) ja määritellään f(z) = z:n 1. neliöjuuri. f(z) = f(r·exp(it)) = sqrt(r)·[cos(t/2)+isin(t/2)] = ±sqrt( rcos(t)/2+r/2 ) ±i·sqrt( r/2-rcos(t)/2 ). Haaran valinnasta seuraa, että u(x,y) >= 0 aina, ja v(x,y) on samanmerkkinen kuin y. Siispä u(x,y) = sqrt( (x+r)/2 ), missä r = sqrt(x²+y²) ja {-sqrt( (r-x)/2 ), kun y < 0 v(x,y) ={ { sqrt( (r-x)/2 ), muulloin. 3. S = 1 + z + z² + ... + z^n zS = z + z² + ... + z^n + z^(n+1) Vähennetään puolittain: (1-z)S = 1-z^(n+1) => S = (1-z^(n+1))/(1-z). 4. (i) Kun t ei ole 2k·pi, Sum(sin(kt),k=0..n) = Re{Sum(exp(i·kt),k=0..n)} = ... = [sin(t)+sin(nt)-sin((n+1)t)]/[2-2cos(t)] = ... = sin(nt/2)sin((n+1)t/2)/sin(t/2). Jos t = 2k·pi, vastaus on 0. (ii) Jos t = 2k·pi, vastaus on (n+1)cos(f). Muutoin Sum(cos(f+kt),k=0..n) = Re{exp(i·f)Sum(exp(i·kt),k=0..n)} = cos(f)Re{·}-sin(f)Im{·} = ... = [cos(f)-cos((n+1)t+f)+cos(nt+f)-cos(f-t)]/(2-2cos(t)) = ... = sin((n+1)t/2)cos(nt/2+f) / sin(t/2). 5. (i) exp(z)^1/n = (exp(x)exp(iy))^1/n = exp(x)^1/n * [cos(y/n+2k·pi/n) + sin(y/n+2k·pi/n], k=0..n-1. ... = exp(x/n)exp(i·y/n + i·2k·pi/n) = exp(z+i·2k·pi/n). (ii) Kaavaan sijoitus. Aloittamalla oikealta pääsee helpommalla. Luennolla oli kuulemma cos(z) määritelty väärin. Se on oikeasti [exp(iz)+exp(-iz)]/2. (iii) Kaavaan sijoitus. Laske ite. H4 8.-12.2.1999 1. z = i(±pi/3 + 2k·pi), k = 0, ±1, ±2, ... 2. (i) (z^a)(z^b) = exp(a ln z)exp(b ln z) = exp( (a+b)ln z ) = z^(a+b). (ii) (z1z2)^a = exp( a ln(z1z2) ) = exp( a ln z1 + a ln z2 ) = exp( a ln z1 )exp( a ln z2 ) = (z1^a)(z2^a). 3. z = pi/2 + k·pi + i/2 ln 3, k = 0, ±1, ±2, ... 4. f(t) = Re{ F exp(st)} = Re{ F0 exp(i·fii)exp(sigma·t+iwt) } = F0 exp(sigma·t) Re{ exp(i(fii+wt))} = F0 exp(sigma·t) cos(fii + wt) = F0 exp(sigma·t) sin(theta +wt). (Koko tehtävä on suora kaavaan sijoitus.) 5. (i) 2i (ii) 0 (Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin ja supistetaan. Myös l'Hôpital pelaa.) 6. Valitaan mieliv. kompleksiluku z0 ja reaaliluku epsilon > 0. Merk. arg(z-z0)=t. |z-z0| < epsilon => |f(z)-f(z0)| = |Re(z-z0)| = |z-z0||cos(t)| < epsilon, joten f on jatkuva pisteessä z0. Koska z0 oli mv. piste, f on jatkuva kaikkialla. 7. w(z) = Ln z = ln |z| + i Arg(z). Arg(z) on z:n päähaaran argumentti ja saa arvoja (-pi,pi]. Kun A = { z | |z|=a }, niin w(A) = { z | Re(z)=a, -pi < Im(z) <= pi }, joka on kompleksiakselin suuntainen jana. Näinollen se 3 kierrosta olisi vain hämäystä. Toinen tulkinta: w(z) = Ln(z) tarkoittaa logaritmifunktiota, kun argumentin z haara on kiinnitetty. Tällöin 0 <= Arg(z) < 6pi ja w(A) = { z | Re(z)=a, 0 <= Im(z) < 6pi }. H5 15.-20.2.1999 1. x-akselia lähestyttäessä raja-arvo on 1, y-akselia pitkin -1. Erisuuret => raja-arvoa ei ole. 2. f(z) = Re(z). u(x,y)=x, v(x,y)=0. u ja v jatkuvia => f jatkuva. (H4 t. 6) 3. Funktion (äärellinen) kiertopiste on sellainen, että funktion arvo muuttuu, kun piste kierretään kertaalleen mielivaltaista yksinkertaista suljettua polkua pitkin. Funktion g(z) = 1/(z^4-16)^(-1/2) = [(z-2)(z+2)(z-2i)(z+2i)]^(-1/2) kiertopisteitä ovat nimittäjän nollakohdat ±2 ja ±2i. Tämä nähdään näin: Mielivaltainen C-tason piste z voidaan kirjoittaa: z = 2 + r1 exp(i t1) = -2 + r2 exp(i t2) = 2i + r3 exp(i t3) = -2i + r4 exp(i t4). (Piirrä kuva.) Käyttämällä näitä esitystapoja funktion g määrittelyssä, saadaan g(z) = (r1r2r3r4)^(-1/2) exp( -(t1+t2+t3+t4)/2 ). Kun kierretään jokin pisteistä {±2, ±2i}, vastaava kulma t1,t2,t3 tai t4 kasvaa 2piillä ja muut kulmat eivät muutu. Tällöin funktion g arvo muuttuu, joten pisteet ovat kiertopisteitä. 4. Mekaanista derivointia. Ratkaistaan u(x,y) ja v(x,y) ja lasketaan osittaisderivaatat. Derivoitaessa x:n suhteen y käyttäytyy kuten vakio ja päinvastoin. (i) u_x = 3x²-3² = v_y, u_y = -6xy = -v_x => Funktio on kaikkialla derivoituva. (ii) u = exp(x)cos(y), v = -exp(x)sin(y). u_x = -v_y = u, v_x = u_y = v. C-R- ehdot toteutuvat pisteissä, joissa u_x=v_y=0, v_x=u_y=0. Tällaisia pisteitä ei ole. (iii) Silkkaa derivointia, ehdot toteutuvat kaikkialla. (iv) u=xy, v=y². u_x=y, v_y=2y, u_y=x, v_x=0. Ehdot toteutuvat ainoastaan origossa => funktio ei ole derivoituva muualla kuin origossa. Ehtojen toteutumisesta origossa ei seuraa, että derivaatta pisteessä olisi olemassa, mutta on se. (Vrt. t. 6) (v) u = x/(x²+y²), v = -y/(x²+y²). (...osamäärän derivointia...) C-R ehdot toteutuvat kaikkialla. Paitsi origossa, missä osittaisderivaatat (ja funktio itse) ovat määrittelemättömiä. 5.(i) CR-ehdot toteutuvat, |f(z)| = vakio. |f(z)|² = u²+v² = k² (=vakio) kaikilla z A:ssa. Derivoidaan identiteetti puolittain: 2uu_x + 2vv_x = 0 (x:n suhteen) 2uu_y + 2vv_y = 0 (y:n suhteen). Käytetään CR-ehtoja ja ratkaistaan yhtälöparista u_x ja v_x. Saadaan tulos (u²+v²)u_x = 0, (u²+v²)v_x = 0 josta u_x = v_x = 0. CR-ehtojen mukaan tällöin myös u_y = v_y = 0, joten u ja v ovat vakioita ja f on vakio. Homma menee myös polaarimuodossa ja jopa vähän lyhyemmin. (ii) Vastaoletus: v = x²-2y:llä on harmoninen liittofunktio u. v_y = -2 = u_x => u = -2x + g(y). (Integroitaessa vakiotermiksi tulee y:n funktio; siis x:n suhteen vakio.) Derivoidaan u y:n suhteen: u_y = g'(y) = -v_x = -2x, mikä on ristiriita. Yhtälön toisella puolella on y:n funktio ja toisella puolen x:n, eivätkä nämä voi mitenkään olla samat. 6. Tehtävässä oli painovirhe. Oikea funktio on f(z) = z^5/|z|^4. 1) Derivaattaa ei ole origossa. Lasketaan erotusosamäärä kun z->0 x-akselia pitkin: x^5/x^4/x = 1 -> 1, kun x->0. Lähestytään sitten pitkin suoraa y=x. (f(z)-f(0))/(z-0) = (z / |z|)^4 = z²/conj(z)² = (x²-y²+2xyi)/(x²-y²-2xyi) = (x²-x²+2x²i)/(x²-x²-2x²i) = -1 -> -1, kun x->0. Raja-arvon pitäisi olla 1-käsitteinen, joten derivaattaa ei ole. 2) CR-ehdot: Lasketaan ensin u ja v. u = (x^5-10x³y²+5xy^4)/(x²+y²)², v = (5yx^4-10y³x²+y^5)/(x²+y²)². Nyt u_x(x,0) = 1 => u_x(0,0) = 1. u_y(0,y) = 0 => u_y(0,0) = 0. v_x(x,0) = 0 => v_x(0,0) = 0. v_y(0,y) = 1 => v_y(0,0) = 0 ja CR-ehdot siis toteutuvat. Tässä ei ole mitään hämärää, sillä CR-ehdoista seuraa derivoituvuus tietyssä _alueessa_, mikäli ehdot pätevät tässä alueessa _ja_ osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Yksittäisistä pisteistä ei sanota sitä eikä tätä. H6 8.-13.3.1999 (Näissä on virheitä todennäköisemmin kuin muissa. En ole itse pitänyt ko harkkoja.) 1. (Kaikki seuraavat raja-arvot ovat z->z0.) lim f(z)-f(z0) = lim [f(z)-f(z0)] (z-z0)/(z-z0) = lim [f(z)-f(z0)]/(z-z0) lim z-z0 = f'(z0)·0 = 0, joten lim f(z) = f(z0) ja f on jatkuva. 2. a) u_xx = -6y, u_yy = 6y, u_xy = -6x jatkuvia, u_xx + u_yy = 0. Liittofktio: v_y = u_x = -6xy => v = -3xy² + h(x) => v_x = -3y² + h'(x) = -u_y = 3x²-3y² => h'(x) = 3x² ja v(x,y) = x³ - 3xy² (+c). b) Kuten a). v(x,y) = -cosh x cos y (+c). 3. f(z) = z². u = x²-y², v = 2xy. v on u:n harmoninen liittofunktio, sillä u ja v toteuttavat C-R-yhtälöt ja Laplacen yhtälön (ja toiset osittaisderivaatat ovat jatk.) Kuitenkaan v ja u (tässä järjestyksessä) eivät toteuta C-R-yhtälöitä: v_x = 2y != u_y = -2y, v_y = 2x != -u_x = -2x. 4. Etsitään u(x,y) s.e. u_x = v_y, u_y = -v_x, kun v_xx + v_yy = 0. Koska u on harmoninen, rot(u) = 0. (rot(u) = Nabla × u.) u:n voi ajatella pyörteettömän vektorikentän potentiaaliksi, joten u(x,y) = Int( Nabla(u)·ds, s = (0,0)..(x,y) ) = (x,y) (x,0) (x,y) / / / = | u_x dx + u_y dy = | v_y dx - | v_x dy. Tämä on vastaus. Pyörteettömässä / / / (0,0) (0,0) (x,0) kentässä integrointitiellä ei ole väliä. Alarajaksi olisi voitu ottaa mv. piste (x0,y0); näin saatu u(x,y) on vakiota vaille 1-käsitteinen. Nabla(u) on u:n gradientti. 5. l'Hôpital. a) 1. Varmaankin piti kysyä raja-arvoa z->-i. Tällöin vastaus olisi (11+i)/(7+i) = 1,58 - 0,08i. b) n tarkoittaa piitä. Vast = pi²/2. c) lim [z->i] (z+1-i)^(1/(z-i)) = lim [w->0] (w+1)^(1/w) = lim exp( ln(w+1)/w ) = exp( lim ln(w+1)/w ) = exp( lim 1/(w+1) ) = e. (e^z on jatkuva, joten raja-arvon oton saa viedä funktion sisään. Lopussa käytettiin l'Hôpitalia.) 6. a) (Tavallinen polynomi astetta 15.) z = ±1 2krt, z = ±(1+i)/sqrt(2) 1krt, z = ±(1-i)/sqrt(2) 1krt, z = i 7krt. (Kertalukujen summa = 15.) b) sinh²z = 0 <=> sinh z = 0 <=> exp(z) = exp(-z) <=> z = i n pi, n = ..,-1,0,1,.. kaksinkertaisia nollia. c) i 2n pi d) i 2n pi. c- ja d-kohdissa nimittäjä on hämäystä, ja kunkin nollan kertaluku=1. 7. Int( z|z|, z käyrällä S ) = Int( z(t)|z(t)|, t=0..2 ) = Int( -(1-t)², t=0..1 ) + Int( i²(t-1)², t=1..2 ) = ... = -1/3 - 1/3 = -2/3. H7 15.-20.3.1999 1. Sama kuin H6 teht. 7. 2. Kannattaa integroida yksikköympyrää pitkin. Integraalin arvo on sama kaikilla toisiinsa redusoituvilla umpinaisilla käyrillä. Merk. z = exp(it), t=0..2pi, dz = i exp(it) dt. Int( 1/z, S ) = Int( exp(-it ) i exp( it ), t=0..2pi ) = 2i pi. 3. Merk. f(z(t))z'(t) = A(t) + iB(t). (A ja B ovat tavallisia reaalifunktioita.) Ratkaisun näkee kun kirjoittaa integrandin yo. muotoon. 4. Käytetään lemmaa, joka sanoo: |Int(f(z),S)| <= M L, missä M on |f(z)|:n jokin yläraja käyrällä S, ja L on S:n pituus. (i) L = 3pi/2, f(z) = 1/(1+z²). |f| saa suurimman arvonsa S:llä pisteessä z=3i, jolloin |f(3i)| = 1/8. Siispä |Int(f(z),S)| <= M L = 3pi/16. (ii) L = 2pi, f(z) = exp( conj(z) Im(z) ) => |f(z)| = exp( Re( conj(z) Im(z) ) ) = exp( sin(t)cos(t) ) = exp( ½sin(2t) ) <= exp(½) = sqrt(e) kaikilla t=0..2pi. Siis |Int(...)| <= 2pi sqrt(e). 5. Voidaan joko valita jokin integrointitie tai integroida kylmästi mistään piittaamatta. Jälkimmäinen tapa: Int( sin(2z), z=0..pi+i ) = = -[cos(2pi+2i)-cos(0)]/2 = -[cos(2pi)cos(2i)-sin(2pi)sin(2i)-1]/2 = = 1/2 - cos(2i)/2 = 1/2 - cosh( 2i² )/2 = 1/2 - cosh( 2 )/2. (cosh on parillinen, cosh(-2)=cosh(2).) 6. a) Integroitava on alueessa analyyttinen => I = 0. b) Peruslauseen mukaan integraali sileän tien yli = sijoitus integraali- funktioon välin päätepisteissä. Merkitään S1 = {a exp(it) | t=-pi/2..pi/2} ja S2 = { -iy | y=-a..a }. Siis S1 on ympyrän kaari ja S2 on halkaisija, siten että reitti kuljetaan vastapäivään. Nyt I = I1 + I2 = Int( f(z), S1 ) + Int( f(z), S2 ) = = F( ia ) - F( -ia ) + F( -ia ) - F( ia ) = 0. c) Kenkku. Merk. I0 = se mitä kysytään. Lasketaan b-kohdan I1 ja I2: I2 = Int( -i exp(-iy),y=-a..a ) = -2i sin( a ). I1 = Int( exp( a exp(it) ) a i exp( it ), t = -pi/2..pi/2 ). Avaamalla eksponenttifunktiot saadaan lopulta Im(I1) = a Int( exp( a cos(t) ) cos( sin(t) + t ), t=-pi/2..pi/2 ). Integroitava on parillinen (tarkista!), joten Im(I1) = 2 a Int( exp( a cos(t) ) cos( sin(t) + t ), t=0..pi/2 ) = 2 a I0. Nyt 0 = Im( I1 + I2 ) = 2 a I0 - 2 sin( a ) => I0 = sin( a )/a.