H8 22.-26.3.1999 1. Koska a(n)->0, niin on olemassa sellainen N, että a(n) < 1 kun n > N. Merkitään m = max( |a(n)|, 0 < n < N+1 ). (Äärellisestä joukosta voi aina valita suurimman.) Nyt M = max(m,1) täyttää ehdon. 2. Osamurtokehitelmä: z²/(z²+9) = 1 - 9/(z²+9) = 1 + 1.5i / (z-3i) - 1.5i / (z+3i). [Tämän tein ma-ti harkoissa väärin eikä kukaan puhunut mitään, kele. Vastaukset olivat kuitenkin oikein.] (i) Integroitava on analyyttinen => I = 0. (Osamurrot turhia.) (ii) I = Int( 1, S ) + Int( 1.5i/(z-3i), S ) - Int( 1.5i/(z+3i), S ). 1. ja 3. integroitava ovat S:n sisällä analyyttisiä => integraalit ovat nollia. Toiseen termiin puree Cauchyn kaava, joten I = 0 + 1.5i 2pi i - 0 = -3pi (iii) Kuten kohta (ii), nyt 3. integraali = -3pi ja muut ovat nollia, joten I = -(-3pi) = 3pi. 3. Syvältä. Jotta analyysin peruslause toimisi, pitää integroitavan olla mm. jatkuva alueessa. Nythän näin ei äkkiä katsoen ole. Venkoillaan siten, että integroidaan pisteestä z = -R, arg(z)=-pi pisteeseen z = -R, arg(z)=pi. Nyt integrointitie ei ole suljettu, ja integraali- funktio 2sqrt(z) on oikea funktio. (ts. neliöjuuren haara on kiinnitetty.) Integraalin lasku on nyt vain sijoitus integraalifunktioon: I = 2sqrt( R exp(i pi) ) - 2sqrt( R exp(-i pi) ) = 4i sqrt(R). Jos integraalifunktion haarat valitaan toisin tai integrointitien sädettä muutetaan, arvo muuttuu. 4. Jako osamurtoihin: 1/(z²+4) = 0.25i/(z+2i) - 0.25i/(z-2i). Nyt I = i/4 Int( exp(zt)/(z+2i) ) - i/4 Int( exp(zt)/(z-2i) ) = = i/4 2i pi[exp(-2it) - exp(2it)] = i pi[exp(i2t)-exp(-i2t)]/2i = = i pi sin(2t). (Kompleksisen sinin määritelmä.) 5. Cauchyn kaava derivaatoille: 2pi i f'(z0) = Int( f(z)/(z-z0)², S ). Tässä f(z) = exp(2z) ja z0 = 0. Suoraan kaavasta I = 4i pi. Lasketaan sama vaikeammin: z = exp(it), dz = i exp(it) dt, t=-pi..pi. I = Int( i exp( 2exp(it)-2it+it ), t=-pi..pi ), josta Im(I) = Int( exp( 2cos(t) ) cos( 2sin(t)-t ), t=-pi..pi ). Integroitava on parillinen, joten Im(I) = 2 Int( ..., t=0..pi) = 2 I0. (I0 = se mitä kysytään.) Siis I0 = Im(I)/2 = 2pi. 6. |f(z)| >= m > 0, f kokonainen => 0 < |1/f(z)| <= 1/m ja 1/f on kokonainen. 1/f on siis kokonainen ja rajoitettu, joten se on vakio (Liouville). Niinpä f on vakio. 7. Alueessa A = { z| Re(z)=0..2pi, Im(z)=0..2pi } funktio f on rajoitettu (koska se on jatkuva). Siis |f(z)| < M kun z kuuluu A:han. Mielivaltainen z0 voidaan kirjoittaa muotoon z0 = z + k1 2pi + k2 i2pi, missä z kuuluu A:han. Nyt f(z0) = f(z) < M, joten f on rajoitettu => f on vakio. H9 29.3.-9.4.1999 1. (i) R:n lauseketta ei voi suoraan käyttää, koska a(n)=0 kun n on pariton. Suhdetesti taasen toimii: lim a(n+1)|z^n+1| / a(n)|z^n| = 0 => R = Inf. (ii) a(n) = 2^n / sqrt(n), R = 1/2. (Suoraan R:n lausekkeesta.) (iii) a(n) = n^n, R = lim 1 / a(n)^(1/n) = lim 1/n = 0. (iv) Suppenemisalueessa S = Sum( z^(2n), n=0..Inf ) + Sum( (2z)^(2n+1), n=0..Inf ). Nämä ovat geometrisia sarjoja => S = 1 / (1 - z²) + 2z / (1-(2z)²) kun |2z|² < 1, eli R = 1/2. 2. Kaikki kohdat ovat ihan mekaanisia. (i) sin(z) = z - z³/3! + z^5/5! - z^7/7! + ... (ii) cos(z) = 1 - z²/2! + z^4/4! - z^6/6! + ... (iii) Ln(1+z) = z - z²/2 + z³/3 - z^4/4 + z^5/5 - ... Logaritmi derivoidaan kuten reaalinen logaritmi. Suppenemissäteet voi laskea tai päätellä funktioiden analyyttisyydestä. Sini ja kosini ovat kokonaisia => R = Inf. Logaritmilla on napa pisteessä z = -1 => R = 1. 3. exp(z) = Sum( e/n! (z-1)^n, n=0..Inf ). R = Inf. 4. Tätä ei pidä yrittää derivoida; siinä menee järki. Koska Taylorin sarja on yksikäsitteinen, ei ole väliä miten se lasketaan. Lasketaan jakokulmassa. __z/9_-_z^5/9²_+_z^9/9³___________ 9 + z^4 | z _z__+__z^5/9_ - z^5/9 _-__z^5/9__-_z^9/9²_ + z^9/9² _+_z^9/9²_+_z^13/9³_ - z^13/9³ jne... Täten f(z) = Sum( -(-1/9)^n z^(4n+1), n=0..Inf ). Suppenemissäde saadaan suhdetestillä: lim 9^n/9^(n+1) |z|^(4n+5)/|z|^(4n+1) = lim |z|^4 / 9 = |z|^4 / 9 < 1 => |z| < sqrt(3) = R. 5. Sum( [r exp(it)]^n ) = r exp(it) / (1-r exp(it)). Käytetään vasemmalla Moivren kaavaa ja kirjoitetaan yhtälön reaali- ja imaginääriosat omiksi yhtälöikseen. Se on siinä. 6. (i) S = Sum( z(n), n=0..Inf ) = lim Sum( z(n), n=0..k ). C(S) (konjugaatti) = C( lim Sum( ... ) ) = lim C(Sum( ... ) ) = lim Sum( C(z(n)), n=0..k ) = Sum( C(z(n)), n=0..Inf ). (ii) cS = c lim Sum( ... ) = lim c Sum( ... ) = lim Sum( cz(n), n=0..k ) = Sum( cz(n), n=0..Inf ). H10 12.-17.4.1999 1. f(z)=cos(z)/sin(z) Laurentin sarjan alku? Helpointa on jakaa sinin ja kosinin sarjat jakokulmassa. f(z) = 1/z - 1/3 z - 1/45 z³ - 2/945 z^5 - ... Toinen tapa: lasketaan ensin funktion 1/sin(z) Laurentin sarja ja kerrotaan kosinin sarja sillä. 1/sin(z) = 1/z + z/6 + 7/360 z³ + 31/15120 z^5 + ... Tämän saa joko laskemalla jakokulmassa, tai työläämmin kirjoittamalla 1/sin(z) = 1/(1-w) = Sum( w^n, n=0..Inf ), missä w = 1 - sin(z) = z³/3! - z^5/5! + z^7/7! - ... 2. Työläs. Ratkaisu toisaalla. 3. f(z) = 1/[(z-3)(z-2)] = 1/(z-2) - 1/(z-3). (i) 1/(z-2) = 1/2 Sum( (2/z)^n, n=1..Inf ), |z| > 2 ja 1/(z-3) = -1/3 Sum( (z/3)^n, n=0..Inf ), |z| < 3. f(z) = edellisten erotus. (ii) 1/(z-2) = sama kuin edellä, 1/(z-3) = 1/3 Sum( (3/z)^n, n=1..Inf ), |z| > 3. f(z) = 1/(z-2) - 1/(z-3) = Sum( [2^(n-1) - 3^(n-1)] z^(-n), n=1..Inf). (iii) 1/(z-2) = oma Laurentin sarjansa, a(n) = 0 kun n != -1, 1/(z-3) = -1/[1-(z-2)] = - Sum( (z-2)^n, n=0..Inf ). f(z) = Sum( (z-2)^n, n=-1..Inf ). 4. (i) Laurentin sarja on Sum( z^n / (-n-1)!, n=-Inf..1 ) => 0 on oleellinen e.p. Pistettä ääretön pitäisi myös tarkastella, mutta jätetään seuraavaan kertaan. (ii) Laurentin sarja on Sum( z^n / (n+1)!, n=0..Inf ) => 0 on poistuva e.p. (iii) Nimittäjän nollakohdat ovat napoja: 0 2-krt. ja ±i 1-krt. (iv) sinh³(z) = 0 => z = i n pi. Nim. nollakohdat 3-krt. napoja. (v) 1 + exp(z) = 0 <=> z = i( pi + 2n pi ). 1-krt. napoja. 5. g on analyyttinen => sillä on pisteessä a Taylorin sarja, g(z) = Sum( b(n)(z-a)^n, n=0..Inf ). Tästä saadaan funktiolle f Laurentin sarja: f(z) = Sum( b(n+1)(z-a)^n, n=-1..Inf ). Termin 1/(z-a) kerroin on b(0) = g(a). Jos g(a) != 0, f(z):n sarja alkaa -1:stä ja a on 1-krt. napa. Jos taas g(a) = 0, f(z):n sarja alkaa 0:sta ja a on siten poistuva e.p. H11 19.-23.4.1999 1. (i) 0 on olleellinen e.p. Laurentin sarjasta Res(f,z=0) = 1/2. (ii) 0 2krt, ±i 1krt navat. Res(f,z=0) = lim( D[1/(1+z²)], z=0 ) = 0, Res(f,z=i) = lim( 1/[z²(z+i)], z=i ) = i/2 ja Res(f,z=-i) = lim( 1/[z²(z-i)], z=i ) = -i/2. (iii) z(n) = i(pi + 2n pi ) 1krt napoja. l'Hôpital: Res( f, z=z(n) ) = lim( (z-z(n)) / (1+exp(z)), z=z(n) ) = ... = -1. 2. (i) g(z) = f(1/z) = exp(z)/z. Laurentin sarjasta näkee: 0 1krt napa => Inf on f:n 1krt napa. (ii) g(z) = f(1/z) = z^4 /(z²+1), 0 on 4krt nollakohta => Inf on f:n 4krt 0. (iii) g(z) = 1/(1+exp(1/z)) -> 0, kun z->0. 0 on poistuva e.p. => Inf on ... 3. Pitäisi olla z->\alpha. f(z):n Laurentin sarja on Sum( a(n)(z-a)^n,n=-Inf..Inf). (z-a)f(z) = [S1(z)]/(z-a) + a(-1) + (z-a)·[S2(z)], missä S1(z) = a(-2) + a(-3)/(z-a) + a(-4)/(z-a)² + ... ja S2(z) = a(0) + a(1)(z-a) + a(2)(z-a)² + .... Kun z->a, termi [S1(z)]/(z-a) -> Inf, ellei S1(z) ole 0. => S1(z) = 0 ja siis a(n)=0 kun n < -1. Laurentin sarjan 1. termi on siten a(-1)/(z-a) = A/(z-a). Jos A != 0, a on 1krt napa. Jos A = 0, a on poistuva e.p. 4. Kohdissa (i) ja (ii) residyt saadaan helpoiten Laurentin sarjasta. (i) Res( f, z=0 ) = -1/2, I = -pi i. (ii) Res( f, z=1) = e, I = 2pi i e. (Voisi laskea suoraan Cauchyn int.kaavalla) (iii) Monta tapausta, käsiteltävä erikseen. a) b != 0: Res( f, z=-b ) = (a-b)/(-b)^n. Res( f, z=0 ) = (b-a)/(-b)^n, jos n > 0 ja 0, jos n = 0. b) b = 0: Res( f, z=0 ) = 1/n! lim( d^n (z+a)/dz^n, z=0 ) = a, jos n=0; 1, jos n=1 ja 0, jos n>1. Nyt voi laskea integraalin: 1) |b|>1: I = 2pi i Res( f, z=0 ) = 0, jos n=0 ja 2pi i (b-a)/(-b)^n, n>0. 2) 0<|b|<1: I = 2pi i( Res( f, z=0 ) + Res( f, z=-b ) ) = 2pi i (a-b)/(-b)^n, jos n=0 ja 0 jos n>0. 3) b=0: I = 2pi i Res( f, z=0 ) = 2pi i a, jos n=0; 2pi i, jos n=1 ja 0 muulloin. 5. Sijoituksella z = exp(it). (i) Sijoituksen jälkeen dt = -i/z dz ja 2cos(t) = exp(it) + exp(-it) = z + 1/z (kompleksisen kosinin määritelmä). I = Int( -i exp(z+1/z)/z, |z|=1 ). Haetaan integroitavan residy 0:ssa, = osoittajan Laurentin sarjan termi a(0). Tämä saadaan kertomalla exp(z):n ja exp(1/z):n sarjat; a(0) = Sum( (1/n!)²,n=0..Inf ). (Simppelimpää muotoa ei kai ole.). Nyt I = 2pi i (-i) Res( f, z=0 ) =2 pi Sum( (1/n!)²,n=0..Inf ). (ii) Kosini on parillinen => I = 1/2 Int( ..., t=0..2pi ). Samalla sijoituksella saadaan I = -i/4 Int( (z^4+1) / [(z²)(-az²+(1+a²)z-a)], |z|=1 ). Integrandin nim. nollakohdat ovat 0 (2krt), a ja 1/a. Res( f, z=0 ) = ... = -(1+a²)/a² ja Res( f, z=a ) = ... = (a^4+1)/[(a²)(1-a²)]. I = 2pi i (-i/4) [Res( f, z=0) + Res(f, z=a )] = pi a² / (1-a²). H12 1. (i) Lasketaan kuten vastaavat H11 tehtävät. Integroitava on parillinen ja jaksollinen (jakso = pi), joten I = Int( f(t),0..pi/2) = 1/4 Int( f(t),0..2pi). Sijoitetaan z = exp( it ) ja lasketaan residy- lauseella. dz = iz dt, ja sin²(t) = -(z² - 2 + 1/z²) / 4. Sievennyksen jälkeen I = i Int( z/(z^4-6z²+1), |z|=1 ). Pisteet ±(sqrt(2)±1) ovat 1krt napoja, joista int.tien sisällä ovat ±(sqrt(2)-1). Res( f(z), z = ±(sqrt(2)-1) ) = -1/(8 sqrt(2)). (Sama molemmissa) => I = i/4 (2pi i) (-1/8sqrt(2)) = pi / (2 sqrt(2) ). (ii) I = 1/2 lim( Int( x²/[(x²+a²)(x²+b²)], x=-R..R ), R = -Inf..Inf ) = 1/2 2pi i Sum( Res( f(z), Im(z)>0 ) ). (Sanoo se joku lause.) f:n osoittajan aste = nim. aste - 2, joten lausetta voi käyttää. Funktiolla on navat ±ai ja ±bi, joista valitaan + -merkkiset. [Tämä kannattaa hahmottaa ennen tenttiä. Älä sotke kompleksisen inte- graalin kanssa, jolloin valitaan kaikki tien sisällä olevat navat.] Residyt: Res( f(z), z=ai ) = ai/[2(b²-a²)], Res( f(z), z=bi ) = -bi/[2(b²-a²)]. I = 1/2 (2pi i)(Sum(Res)) = pi/[2(b+a)]. (iii) Kuten (ii). Nyt navat ovat 2krt => residyn laskemisessa pitää derivoida. Res( f(z), z = -1/2 + i sqrt(3)/2 ) = 2 / (i sqrt(3))³. I = 2pi i Res( f, z = napa ) = 4/9 pi sqrt(3). 2. (i) I = Int( cos²(x)/(x²+a²), x=0..Inf ) = 1/4 Int( (1+cos(2x))/(x²+a²), x=-Inf..Inf ) = 1/4 Int(1/(x²+a²),x=-Inf..Inf) + 1/4 Int(cos(2x)/(x²+a²),x=-Inf..Inf) = 1/4 (I1 + I2). I1 menee kuten teht. 1(ii). Res( 1/(z²+a²), z=ai ) = 1/2ai, ja I1 = pi/a. I2 lasketaan kuten on opetettu: Merkitään f(z) = 1/(z²+a²), ja lasketaan integraali I3 = Int( f(x)exp( 2ix ), x=-Inf..Inf ) residylauseella. Res( f(z)exp( 2iz ), z=ai ) = exp( -2a )/2ai, josta I3 = 2pi i exp( -2a )/2ai = pi/a exp(-2a). I2 on tämän reaaliosa, eli I2 = I3. Siten I = (I1 + I2)/4 = pi(1+exp(-2a))/4a. (ii) f(z) = z/(z²+2z+2), navat ±i-1, joista i-1 on integrointitien sisällä. r = Res( f(z) exp(iz), z=i-1 ) = (i-1)/2i exp(-1) ( cos(-1) + i sin(-1) ). Kysytty integraali I = Im( 2pi i r ) = pi/e (cos(1) + sin(1)). [cos(-1)=cos(1) ja sin(-1) = -sin(1).] (iii) I = 1/2 Int( cos(mx)/(x²+1)³, x=-Inf..Inf ). f(z) = 1/(x²+1)³, 3krt. navat ±i. r = Res( f(z) exp(imz), z = i ) = 1/2! lim( D²[exp(imz)/(z+i)³], z=i ). Derivoidaan ja otetaan raja-arvo. Tulos: r = exp(-m)(m²+3m+3)/16i. I = 1/2 Re( 2pi i r ) = pi exp(-m)(m²+3m+3)/16. 3. sij. z = R exp( it ) => I = i Int( R exp(it) f( R exp(it) ), t=a..b ). Kun tässä z eli R exp(it) -> ääretöntä, integroitava -> l. (annettu). Siten lim( I, z=Inf ) = i Int( l, t=a..b ) = i l (b-a). Sama tarkemmin: Raja-arvon määritelmästä seuraa, että kun |z| > jokin R0, niin |zf(z)-l| < epsilon. Merkitään zf(z)-l = o(z). Nyt siis |o(z)| saadaan mielivaltaisen pieneksi, kunhan |z| on riittävän suuri. Nyt I = i Int( zf(z), t=a..b ) = i Int( o(z) + l, t=a..b ) = i Int( o(z), t=a..b ) + i Int( l, t=a..b ). Kun z->Inf, ensimmäinen integraali lähestyy nollaa, ja jäljelle jää vain toinen ( = i l (b-a) ).