From news.cc.tut.fi!newsfeed1.funet.fi!mordred.cc.jyu.fi!not-for-mail Mon Mar 30 14:46:30 1998 Path: news.cc.tut.fi!newsfeed1.funet.fi!mordred.cc.jyu.fi!not-for-mail From: Antti-Juhani Kaijanaho Newsgroups: sfnet.tiede.matematiikka Subject: Naisia on ääretön määrä Date: 26 Mar 1998 15:42:51 +0200 Organization: University of Jyvaskyla, Finland Lines: 47 Message-ID: NNTP-Posting-Host: rolle.cc.jyu.fi NNTP-Posting-User: antkaij X-Newsreader: Gnus v5.5/Emacs 20.2 Xref: news.cc.tut.fi sfnet.tiede.matematiikka:1788 Tarkoituksenani on tässä esittää todistus jokaista poikamiestä rauhoittavalle lauseelle, jonka mukaan naisia on ääretön määrä. Ensin kuitenkin kertaan todistuksen eräälle tunnetulle lemmalle. Lemma: (trad.) Olkoon S epätyhjä, äärellinen joukko naisia. Tällöin S:n kaikilla naisilla n samanväriset silmät. Todistus: (induktio S:n alkioiden määrän n suhteen) VOE jokaisen naisen molemmat silmät ovat samanväriset (sillä voisimme rajoittua tarkastelemaan pelkästään vasempia silmiä). 1. Tapaus n=1. Harjoitustehtävä. 2. Induktio-oletus: lemma pätee, kun n = k. Induktioaskel: Olkoon n = k+1. Valitaan joukosta S eri naiset a ja b. Tarkastellaan joukkoa S \ {a}. Se sisältää k alkiota, joista yksi on b. Induktio-oletuksen nojalla S:n kaikilla naisilla on samanväriset silmät, a:ta mahdollisesti lukuunottamatta. Vastaavasti osoitetaan, että S:n kaikilla naisilla b:tä mahdollisesti lukuunottamatta on samanväriset silmät. Koska silmien samanvärisyys on ekvivalenssirelaatio, naisilla a ja b on samanväriset silmät, ja siis kaikilla S:n naisilla on samanväriset silmät. Induktioperiaatteen nojalla lause on tosi. __ |__| Päälauseen todistus on nyt helppo. Lause: Naisia on äärettömän monta. Todistus: (RAA) Olkoon naisia äärellinen määrä. Tällöin on olemassa kaikkien naisten äärellinen joukko S, joka on epätyhjä (harjoitustehtäväksi jääköön sen osoittaminen, että on olemassa ainakin yksi nainen). Lemman nojalla kaikilla naisilla on samanväriset silmät. On kuitenkin olemassa nainen, jolla on siniset silmät, sekä nainen, jolla on ruskeat silmät (harj.), mikä on ristiriita. Siis antiteesi oli väärä, ja naisia on äärettömän monta. __ |__| Antti-Juhani -- Antti-Juhani Kaijanaho, studying math at University of Jyväskylä, Finland "At first I doubted that this step was intuitively obvious, but after thinking about it for several hours, I decided that it was." (unknown)