Kulman jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan

Kuten jo rippikoulussa opimme, antiikin kreikkalaiset jättivät jälkeensä kolme suurta geometrista ongelmaa:

1. Ympyrän neliöinti. On piirrettävä neliö, jolla on sama ala kuin annetulla ympyrällä.
2. Kuution kahdentaminen. On piirrettävä sellaisen kuution särmä, jonka tilavuus on kaksi kertaa annetun kuution tilavuus.
3. Mielivaltaisen kulman jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan.

Perinteisesti vaaditaan myös, että tehtävät on ratkaistava käyttäen apuna ainoastaan viivoitinta ja harppia. (Viivoittimella ei tarkoiteta tässä tavallista halpaa muoviviivoitinta, vaan sellaista kapinetta, jolla voi piirtää suoria viivoja, eikä muuta. Siinä kapulassa ei siis ole mitta-asteikkoa.) Lisäksi saa käyttää paperia/papyrusta tms.

Jo Kreikan geometrikot tulivat lopulta siihen tulokseen, että näitä ongelmia ei varmaankaan ole mahdollista ratkaista annetuilla ehdoilla. Asian täsmällinen todistaminen onnistui kuitenkin vasta yli 2200 vuotta ongelmien esittämisen jälkeen. Ongelmien 2 ja 3 ratkaisemattomuus todistetaan ainakin opuksessa [2] ja melko varmasti useimmissa muissakin algebran perusoppikirjoissa. Todistus ensimmäisen ongelman ratkeamattomuudesta on monimutkaisempi.

Mutta asiaan! Huolimatta siitä, että kulman kolmijako on todistettu mahdottomaksi, se on kuitenkin tehty useammallakin eri tavalla.

Arkhimedeen tapa

Olkoon AOB mielivaltainen kulma, jota ollaan jakamassa. Piirretään OA-säteinen ympyrä, jonka keskipiste on O. Jatketaan kulman kylkeä OA pisteen O ohi. Lopuksi piirretään pisteen B kautta suora, joka leikkaa ympyrän kaaren pisteessä D ja janan OA jatkeen pisteessä C, siten että CD = OD = OB. Kulma BCO on nyt kolmannes kulmasta AOB.

Kulman kolmijako Arkhimedeen tapaan.

Asian todistus on ihan helppo.

Toinen jako

Tällä kertaa asialla on Campanus Novaralainen (tai Jordanus Nemorarius; joka tapauksessa ollaan 1200-luvulla).

Alku on sama kuin edellisessä jaossa: piirretään ympyrä, jonka keskipiste on jaettavan kulman AOB kärki. Seuraavaksi piirretään kulman kylkeä OB vastaan kohtisuora säde OC. Pisteen A kautta piirretään suora, joka leikkaa säteen OC pisteessä D ja ympyrän pisteessä E, siten että DE = OA. Lopuksi piirretään O:n kautta AE:n kanssa yhdensuuntainen suora, joka leikkaa ympyrän pisteessä F. Kulma BOF on kulman AOB kolmasosa.

Keskiaikainen kolmijako.

Tämänkin todistus on aivan mekaaninen. Alunperin todistus oli tässä, mutta nyt saat todistaa itse, jos et muuten usko.

Selityksiä

Edellisten ratkaisujen puutteena on se, että molemmissa tapauksissa joudutaan sovittamaan annetun mittainen suora kahden kuvion väliin. Vaikka tämä onnistuukin käytännössä, tällainen harpinkäyttö on pelin sääntöjen vastaista. Ratkaisuissa sallituilla työkaluilla oletetaan olevan vain seuraavat ominaisuudet:

1. Viivoittimella voidaan piirtää kahden annetun pisteen kautta suora.
2. Kun on annettu piste ja jana, harpilla voidaan piirtää ympyrä, jonka säteenä on kyseinen jana ja keskipisteenä annettu piste.

Ehtoja voidaan tiukentaa enemmänkin. Eukleides osoitti, että sulkeutuvaa harppia käyttämällä voi konstruoida samat asiat kuin tavallisella harpilla. (Sulkeutuva harppi sulkeutuu heti kun kärjet nostetaan paperilta.) Tanskalainen Georg Mohr (1640-1697) todisti, että ongelmat, jotka voidaan ratkaista harpilla ja viivoittimella, voi ratkaista pelkällä harpilla. (Suora oletetaan tunnetuksi, kun kaksi sen pistettä tunnetaan.) Jakob Steiner (1796-1863) osoitti, että kaikki Eukleideen konstruktiot voi tehdä käyttämällä ainoastaan viivainta, kunhan ensin on annettu yksi kiinteä ympyrä.

Kolmas epäkelpo kolmijako

Tällä kertaa noudatetaan kiltisti työkalujen käyttöohjeita, mutta jotain muuta menee pieleen. Ratkaisu on ihan ikioma, mutta niin itsestäänselvä, että se on varmasti keksitty piljoona kertaa jo aiemmin.

Mielivaltaisen kulman puolittaminen onnistuu harpin ja viivaimen avulla helposti. Kun alkuperäinen kulma α puolitetaan, saadaan kulma α/2, joka on suurempi kuin haettu kulma. Suorittamalla puolitus uudestaan, päästään kulmaan α/4, joka on lähempänä oikeaa, mutta liian pieni. Menettelyä jatkamalla päästään yhä lähemmäs kulmaa α/3, minkä sanoo jo järkikin. Tuloksen näkee myös tuijottamalla geometrista sarjaa

jonka summa on tarkalleen 1/3.

Kolmijako iteroiden.

Tämäkään menetelmä ei tietenkään kelpaa ongelman ratkaisuksi. Periaatteessa kulman kolmannes saadaan konstruoitua, mutta se vaatisi äärettömän monta toimenpidettä ja on siksi käytännössä mahdotonta. Toisaalta ylläoleva sarja suppenee niin nopeasti, että muutamalla jaolla päästään niin lähelle oikeaa vastausta, ettei virheellä ole käytännön merkitystä. (Terävällä kynällä ja isolla paperilla pääsee suunnilleen kulmaan 341α/1024 0,33301α.)

Lähelle pääseminen ei ongelman ratkaisun kannalta lohduta, sillä eihän tässä olla jakamassa kulmaa mitään käytännön tarvetta varten, vaan etsimässä juuri sitä tarkkaa ratkaisua.